集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，是历年高考数学必考的重难点之一。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。

应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。

只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。

例1：集合M={y∣y=x²-1,x∈R},N={x∣y=},则M∩N等于（     ）

分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x²-1的值域，从而M={ y∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函数y=的定义域，从而N={ x∣ }.因此，M∩N={x∣}

例2：设f(x)=x²+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.

分析：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a 。

方程即为x²+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=

更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。

例3：集合A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y=},如果A∩B是单元素集，求m的取值范围。

分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x²-y²=4(y≤0)，表示双曲线x²-y²=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而A∩B是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：

  将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m≤-2或0<m≤2。

集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。

应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。

用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。

如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。

例４：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：

A .0  B.1  C.2  D.3

分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。

    例５：数列{a_n}是等差数列，a₁=50,d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。

分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。

思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。

        由a₁=50,d= -0.6,得an= -0.6n+50.6,令an≤0 ,有n≥84.3 。又 n,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)_max=S₈₄=2108.4       

思路2：等差数列的前ｎ项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理 。

          Sn=50n +,当n取接近于的自然数，即n=4时，Sn达到最大值 S₈₄=2108.4     

例６：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）

 分析：记点P在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集。基本事件总数是,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，. 

　　应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。

例７：求函数y=的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）

分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。

由得

所以函数的定义域是（）。

例８：已知函数y=在[-1,+∞]上是减函数，求a的取值范围.

分析：本题含着两层意思：3x²-ax+5>0在[-1,+∞]上恒成立，t=3x²-ax+5在[-1,+∞]上是增函数，实数a的范围是两者的交集。

由题意得：，且满足x=-1时3x²-ax+5>0,综上得　-8。

而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。

例９：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是　　　　（人教B版必修3，131页第2（3）题）

分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有１个向上，２个向上，３个向上３类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。

Ｐ＝１－＝。

例１０：如果一元二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2—1，31页第6题）

分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。

由有，。

又　　a无解。

因此，。

布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。

小编：华祺教育